Rabu, 20 Juli 2011

materi kuliah riset oprasi (2)


Riset operasi merupakan suatu metode ilmiah yang memanfaatkan ilmu antardisiplin agar dapat menyajikan hubungan-hubungan fungsional yang kompleks, seperti model matematik, untuk keperluan pengambilan keputusan secara kuantitatif dan tidak termasuk masalah baru untuk analisis kuantitatif.
Riset operasi tidak hanya merupakan pengambilan keputusan model untuk memecahkan masalah, tetapi juga memberikan sumbangan untuk pengambilan keputusan bagi manajer pada tingkat bawah, menengah, dan atas. Dalam dunia bisnis dan pemerintahan, riset operasi dapat dimanfaatkan untuk perencanaan, pengorganisasian, pengarahan, dan pengendalian.
 Buku Materi Pokok (BMP) ini terdiri dari 9 (sembilan) modul yang disusun berdasarkan analisis instruksional sehingga lebih memudahkan Anda dalam mempelajari BMP ini. Setelah Anda mempelajari satu kegiatan belajar, Anda diharuskan untuk mengerjakan latihan dan tes formatif yang ada di bagian akhir kegiatan belajar sehingga Anda dapat memahami setiap materi dengan baik.
 Setelah mempelajari BMP ini, Anda diharapkan mampu untuk mengetahui perkembangan riset operasi dan menerapkan model-model serta metode-metode pada riset operasi untuk pengambilan keputusan bisnis.
Berikut adalah susunan modul beserta pembahasannya.
Modul 1 : Pengenalan Riset Operasi. Modul ini membahas tentang perkembangan riset operasi, bidang ilmu manajemen yang berkaitan dengan pertumbuhan ilmu riset operasi, pendekatan sistem sebagai salah satu ciri riset operasi, perkembangan teori sistem, komponen sistem yang terdapat pada pendekatan sistem, karakteristik pendekatan sistem, permodelan dalam riset operasi, dan model simulasi dalam riset operasi.
Modul 2 : Pemetaan Kognisi. Modul ini membahas tentang perumusan masalah sebagai tahapan pertama dalam setiap upaya pemecahan masalah, sejarah pemetaan kognisi, cara kerja pemetaan kognisi, dan peran peta kognisi dalam riset operasi.
Modul 3 : Analisis Probabilitas. Modul ini membahas tentang manfaat teori probabilitas, ruang lingkup teori keputusan, dan metode-metode yang diterapkan dalam pengambilan keputusan.
Modul 4 : Analisis Pengambilan Keputusan. Modul ini membahas tentang model pengambilan keputusan dalam lingkungan pasti dan tidak pasti, pengambilan keputusan dengan menggunakan bantuan pohon keputusan, dan teori chaos serta implikasinya dalam pengambilan keputusan.
Modul 5 : Program Linear. Modul ini membahas tentang perkembangan program teknik linear, peran program linear dalam proses pengambilan keputusan, perumusan program linear dalam proses pengambilan keputusan dalam bentuk grafik dan aljabar, serta penerapan metode simpleks.
Modul 6 : Persediaan. Modul ini membahas tentang konsep dan persoalan serta alat analisisnya, seperti Economic Qrder Quantity (EOQ), pentingnya persediaan, jenis-jenis persediaan, biaya persediaan, model Economic Order Quantity dan variasinya, model diskon kuantitas (diskon harga), serta penentuan Titik Pemesanan kembali serta Stok Pengaman.
Modul 7 : Teori Antrian. Modul ini membahas tentang konsep antrian dalam konteks pengambilan keputusan dan mengaplikasikan pemahamannya tentang model-model antrian dalam praktik bisnis sehari-hari.
Modul 8 : Analisis Jaringan. Modul ini membahas tentang konsep jaringan, pengembangan jaringan proyek/pekerjaan PERT/ CPM, dan metode jalur kritis (CPM) dan teknik evaluasi dan review (PERT).
Modul 9 : Teori Permainan. Modul ini membahas tentang konsep teori permainan, teori permainan sebagai alat bantu dalam pengambilan keputusan, dan teori permainan dalam bentuk matriks permainan.

Demikian semua materi-materi yang ada dalam BMP ADBI4530/Riset Operasi. Untuk itu, diharapkan mahasiswa nantinya dapat memiliki kompetensi untuk menerapkan model-model dan metode riset operasi dalam pengambilan keputusan bisnis dan keseluruhan aspek yang terkait dalam kehidupan sehari-hari.


MODUL 1: PENGENALAN RISET OPERASI
Kegiatan Belajar 1 :

Perkembangan Riset Operasi

Perkembangan riset operasi tidak lepas dari perkembangan ilmu manajemen pada umumnya. Sebagaimana ilmu manajemen pada umumnya, riset operasi berkembang dari dukungan berbagai bidang ilmu, mulai dari ilmu sosial hingga ilmu keteknikan. Riset operasi menfokuskan diri pada upaya pencapaian optimasi sumber daya dengan metode kuantitatif. Walaupun demikian metode kuantitatif yang dibangun tidak serta merta mengabaikan sama sekali pertimbangan dari sisi metode kualitatif seperti pendekatan sistem dan tim.
Riset operasi banyak bertautan dengan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa pihak bahkan menganggap telah terjadi tumpangsuh (overlapping) antara riset operasi dengan beberapa disiplin ilmu tersebut, seperti manajemen, ilmu komputer, statistik, rekayasa sistem, dan rekayasa industri.
Pemahaman riset operasi sangat dipengaruhi oleh pemahaman terhadap berbagai bidang ilmu yang berkaitan tersebut, antara lain bidang ilmu manajemen dan teknik dan manajemen industri.

Kegiatan Belajar 2 :

Pendekatan Sistem (System Thinking)

Cara pandang atau cara berpikir berwawasan sistem adalah cara pandang yang menganggap bahwa suatu sistem permasalahan tidak bisa dipisahkan atas komponen-komponen pembentuknya. Pendekatan sistem memandang bahwa tiap komponen sistem bersifat saling mempengaruhi sehingga upaya untuk memahami suatu sistem permasalahan hendaklah juga melihat keterkaitan antarkomponen secara menyeluruh. Pemodelan suatu sistem juga harus mengacu pada keterkaitan antarkomponen ini. Model yang terbangun haruslah merepresentasikan komponen-komponen penting dalam suatu sistem permasalahan.

DAFTAR PUSTAKA
Beishon, J., Peters, G. ( 976). Systems Behaviour. Harper & Row, Ltd.

Checkland, P.B. (1981). System Thinking, Systems Practice. Wiley.

Forrester, Jay W. (1973). World Dynamics. Cambridge, Mass: Wright-Allen Press, Inc.

George, Claude S. (1968). The History of Management Thought. Englewood Cliffs, NJ.: Prentice Hall, Inc.

Hicks, Philip E. (1977). Introduction to Industrial Engineering and Management Science. Tokyo: McGraw-Hill Kokagusha Ltd.

Littlechild, S and Shutler, Maurice (Eds). (1991). Operations Research in Management. New York: Prentice Hall.

Oser, Jacob. (1963). The Evolution of Economics Thought. New York: Harcourt Brace Jovanovich, Inc.

Von Bertalanffy, Ludwig. (1951). Problem of General Systems Theory. Hum Biol, December.

MODUL 2: PEMETAAN KOGNISI
Kegiatan Belajar 1 :

Peta Kognisi 1

Pemetaan kognisi cocok digunakan untuk suatu situasi permasalahan yang cenderung bersifat kualitatif. Penyusunan struktur permasalahan dengan bantuan peta kognisi akan membantu pemahaman lebih cepat dan utuh. Peta kognisi akan membantu jika di kemudian hari akan dilakukan upaya kuantifikasi yang banyak melibatkan aspek numerik. Dalam pemetaan, suatu permasalahan terdapat banyak cara pandang yang berkaitan dengan perumusan masalah. Peta kognisi bisa memberi gambaran keterkaitan antarkomponen permasalahan. Gambaran permasalahan tersebut merupakan alat yang bagus untuk menunjukkan keunggulan dari masing-masing cara pandang. Dari berbagai gambaran keunggulan yang ada kemudian bisa dilanjutkan dengan negosiasi untuk membangun cara pandang baru sehingga memungkinkan adanya partisipasi. Peta kognisi adalah alat yang bagus untuk membuat menguji dan mengelola sebuah rancangan strategi masa depan. Adanya peta kognisi akan membantu langkah antisipasi dari suatu rancangan strategi yang berperspektif masa depan.

Kegiatan Belajar 2 :

Peta Kognisi 2

Analisis peta kognisi merupakan proses kreatif. Pembuatan dan penganalisisan suatu peta kognisi membutuhkan kreativitas dan kemampuan memahami permasalahan dengan baik. Secara sederhana, peta kognisi hanyalah berisikan pernyataan yang tertulis saja yang saling dihubungkan dengan anak panah. Anak panah melambangkan hubungan sebab akibat dari dua pernyataan yang dihubungkan anak panah yang bersangkutan. Secara harfiah, peta kognisi ini hanyalah sebuah gambar sederhana. Namun demikian, basis ide yang ada di balik gambaran ini sangat luar biasa.
Pemetaan kognisi merupakan representasi visual dari apa yang kita pikirkan tentang sesuatu permasalahan. Penyelesaian masalah riset operasi sangat membutuhkan adanya pemahaman yang memadai tentang suatu masalah.
Dengan demikian keberhasilan dalam menganalisis dan memahami suatu peta kognisi tidak bersifat deterministik.

DAFTAR PUSTAKA
Bryson, J.M, et.al. (2004). Visible Thinking: Unlocking Causal Mapping For Practical Business Result. Chicester. England: John Wiley and Sons, Ltd.

Daniels, Kevin, et.al. (1995). Validating A Method For Mapping Manager Mental Models of Competitive Industry Structures, dalam Human Relations, Vol. 48, No. 9.

Eden,C. (1991). Working With Cognitive Mappin, dalam Littlechild, S.C dan M.F. Shutler. Operation Research in Management. New York: Prentice Hall.

Elmore, R.F. (1982). Backward Mapping: Implementation Research And Policy Decision, dalam W. Williams (ed). Studying Implementation. New York: Catham.

Hodgkinson, G.P., et.al., (2004). Causal Cognitive Mapping In The Organizational Strategy Field: A Comparison of Alternative Elicitation Procedures, dalam Organizational Research Methods. Vol. 7 No. 1, Januari.

Isenberg, D. J. (1989). How senior managers think, in W.H. Igor (eds). Intuition in Organization. London: Sage.

Kelly, G.A. (1955). The Psychology of Personal Construct. Norton.

Toulmin, S.E. (1958). The Uses of Argument. Cambridge: Cambridge University Press.

MODUL 3: ANALISIS PROBABILITAS
Kegiatan Belajar 1 :

Teori Probabilitas


Dalam situasi di mana kita tidak bisa memperoleh kepastian akan terjadinya suatu peristiwa, kita perlu menghitung peluang atau probabilitas terjadinya peristiwa tersebut. Untuk itulah kita mempelajari teori probabilitas. Pada dasarnya terdapat tiga jenis probabilitas, yaitu probabilitas klasik, yaitu dalam bentuk pecahan tunggal (misalnya ¼, ½); probabilitas frekuensi relatif, yaitu menghitung probabilitas berdasarkan data historis; dan probabilitas subjektif yaitu probabilitas yang sifatnya subjektif individu atau menurut pendapat pribadi seseorang berdasarkan pengalaman pribadinya.
Suatu probabilitas mengukur kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, dalam sebuah percobaan atau eksperimen tertentu dalam wujud pecahan atau desimal di mana nilai terkecil adalah 0 dan terbesar adalah 1. Probabilitas antardua peristiwa dapat berbentuk mutually exclusive, yaitu dua peristiwa di mana probabilitas terjadinya salah satu peristiwa bertolak belakang dengan probabilitas terjadinya peristiwa lainnya. Hubungan probabilitas antara dua peristiwa juga dapat berbentuk tidak mutually exclusive, yaitu hubungan yang memungkinkan antara kedua probabilitas tersebut dapat terjadi secara bersamaan.
Distribusi Binomial digunakan untuk menemukan probabilitas suatu atau beberapa peristiwa pada beberapa percobaan. Teorema Bayes digunakan untuk mengetahui probabilitas suatu peristiwa jika terdapat tambahan tertentu.

Kegiatan Belajar 2 :

Aplikasi Teori Probabilitas untuk Pengambilan Keputusan

Suatu tindakan atau kebijakan administrasi bisnis membutuhkan pengambilan keputusan berdasarkan beberapa alternatif pemilihan keputusan. Dalam pengambilan keputusan, harus disertai sasaran yang jelas yang ingin dicapai. Dalam mencapai sasaran yang diinginkan, terdapat beberapa tindakan yang harus dipilih sebagai keputusan tindakan. Masing-masing dari beberapa alternatif tindakan perlu diukur manfaat atau biaya yang dihasilkannya. Tentunya dalam pengambilan keputusan, terdapat situasi ketidakpastian mengenai hasil yang dicapai, di mana terdapat risiko yang akan selalu mungkin terjadi. Oleh karena itu, dalam pengambilan keputusan dibutuhkan analisis probabilitas.
Pada aktivitas belajar ini dibahas tiga metode probabilitas yang dapat digunakan untuk mengambil keputusan, yaitu metode nilai perkiraan (expected value), metode analisis marjinal, dan metode standar distribusi normal. Pada metode nilai perkiraan dilakukan penghitungan dampak yang mungkin terjadi pada setiap pilihan atau alternatif tindakan. Keputusan tindakan yang diambil adalah tindakan yang memberikan manfaat paling besar atau biaya yang paling kecil.
Pengambilan keputusan menggunakan metode analisis marjinal dilakukan dengan menghitung nilai marjinal, yaitu nilai yang melipatgandakan keuntungan atau kerugian pada setiap keputusan yang diambil. Terdapat dua jenis nilai marjinal yang digunakan, yaitu keuntungan marjinal dan biaya marjinal.
Pengambilan keputusan berdasarkan standar distribusi normal dilakukan dengan menghitung nilai rata-rata dan standar deviasi sebagai syarat untuk dapat menggunakan distribusi normal atau melakukan konversi ke nilai standar Z. Cara yang dilakukan adalah dengan menghitung nilai probabilitas optimal menggunakan rumus analisis marjinal, kemudian nilai probabilitas tersebut dikonversi menjadi nilai Z dan nilai kuantitas dari suatu tindakan.

DAFTAR PUSTAKA
Anderson, David Ray, Dennis Sweeny, and Thomas A. William. (1994). An Introduction to management Science: Quantitative Approaches to Decision Making. Minneapolis: West Publishing Company.

Levin, Richard I, David S. Rubin. (1998). Statistics for Management, International Edition. New Jersey: Prenticel Hall.

Lind, Douglas A., William G. Marchal., and Samuel A. Wathen. (2005). Statistical Techniques in Business & Economics. New York: McGraw-Hill Irwin.

Taylor, Bernard W. (2004). Introduction to Management Science. 8th edition. New Jersey: Pearson Education.

MODUL 4: ANALISIS PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Kegiatan Belajar 1 :

Analisis Pengambilan Keputusan dengan Pohon Keputusan

Situasi pengambilan keputusan dapat digambarkan melalui diagram pohon keputusan. Bentuk pohon dengan ranting-rantingnya menggambarkan situasi pengambilan keputusan yang dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus dipertimbangkan untuk dipilih. Setiap pilihan keputusan memiliki risiko keberhasilan. Risiko keberhasilan tak lain merupakan pencerminan dari situasi ketidakpastian yang melingkupi situasi pengambilan keputusan. Pemilihan salah satu pilihan keputusan didasarkan pada nilai penghasilan (payoff) yang paling tinggi.

Kegiatan Belajar 2 :

Chaos dan Pengambilan Keputusan

Teori chaos memiliki implikasi yang luas dalam analisis pengambilan keputusan. Teori chaos memberi pengertian bahwa suatu aksi sekecil pun dapat berimplikasi pada suatu akibat yang besar. Teori chaos juga memberikan pengertian bahwa dalam pengambilan keputusan senantiasa dihadapkan pada suatu potensi ketidakteraturan dan ketidakpastian sehingga batasan-batasan metode pengambilan keputusan tradisonal tidak mencukupi lagi. Teori chaos menuntut perubahan model mental yang sama sekali baru dan kreatif dari sang pengambilan keputusan. Sistem pintar dan kecerdasan berupaya mengantisipasi aspek ketidakpastian dan ketidakteraturan tersebut dengan mengadopsi logika berpikir manusia ke dalam mesin komputer. Dengan sistem pintar, suatu perangkat komputer dapat menganalisis suatu sistem permasalahan dan melakukan pengambilan keputusan.

DAFTAR PUSTAKA
Gleick, J. (1987). Chaos: Making a New Science. Heineman.

Jennings, D., Stuart Wattam. (1998). Decision Making An Integrated Approach. Harlow: Prentice Hall.

Littlechild,S.C., M.F. Shutler (eds). (1991). Operations Research in Management. New York: Prentice-Hall.

Mangkusubroto, Kuntoro dan C. Listiarini Trisnadi. (1987). Analisa Keputusan, Pendekatan Sistem dalam Manajemen Usaha dan Proyek. Bandung: Ganeca Exact.

Pratt, J.W, H. Raiffa R., Schlaifer. (1965). Introduction to Statistical Decision Theory. New York: McGraw-Hill.

Stacey, R. (1992). Managing Chaos. Kogan Page.

MODUL 5: PROGRAM LINEAR
Kegiatan Belajar 1 :

Perumusan Program Linear

Permasalahan optimasi dengan keterbatasan sumber daya dapat dirumuskan dengan pendekatan program linear. Pendekatan program linear mensyaratkan fungsi tujuan dan kendala yang ada harus dapat dirumuskan dalam persamaan atau pertidaksamaan matematika. Penyelesaian program linear dengan bantuan metode grafik (graphic method) dan metode aljabar bertumpu pada perpotongan persamaan-persamaan garis kendala. Metode grafik hanya mampu menyajikan program linear dua dimensi yang melambangkan dua variabel atau dua jenis sumber daya. Hal ini berbeda dengan metode corner point atau metode aljabar yang memungkinkan penyelesaian program linear yang melibatkan lebih dari dua variabel.

Kegiatan Belajar 2 :

Metode Simpleks

Program linear merupakan salah satu metode dalam riset operasi yang cukup bermanfaat untuk optimasi sumber daya. Adanya optimasi sumber daya akan membawa pada tercapainya tingkat keuntungan yang optimum pula.
Untuk mencapai solusi, program linear didasarkan atas langkah-langkah umum, seperti perumusan masalah, dan identifikasi kendala-kendala dari penyelesaian masalah tersebut. Jika program linear hanya melibatkan dua variabel maka permasalahan yang ada dapat diselesaikan dengan bantuan metode grafik yang terdiri atas model penyelesaian iso profit/iso cost dan metode aljabar. Namun, apabila penyelesaian masalah yang ada melibatkan lebih dari dua variabel, metode simpleks lebih banyak dipergunakan.

DAFTAR PUSTAKA
Gass, S.I. (1990). An Illutrated Guide to Linear Programming. New York: Dover.

Heizer, J., Render, B. (1996). Production and Operations Management: Strategic and Tactical Decisions. 4th ed. New Jersey: Prentice Hall International Inc.

Render, B., R.M. Stair. (1992). Introduction to Management Science. Boston: Allyn and Bacon.

Thierauf,R.J., R.C. Klekamp. (1975). Decision Making through Operation Research. 2nd ed. New York: Wiley International.


MODUL 6: PERSEDIAAN
Kegiatan Belajar 1 :

Konsep Persediaan dalam Dunia Usaha

Persediaan merupakan stok barang yang disimpan oleh suatu perusahaan baik perusahaan manufaktur maupun jasa untuk memenuhi permintaan pelanggan. Persediaan dapat terjadi pada setiap aktivitas bisnis. Alasan kuat persediaan tersebut dibutuhkan adalah untuk memenuhi kebutuhan konsumen, sementara alasan yang menolak terutama karena persediaan tersebut merupakan suatu pemborosan. Klasifikasi persediaan dapat dilihat dari segi fungsi dan fisiknya.
Sistem pengendalian persediaan dapat dibedakan atas sistem pengendalian persediaan kontinu dan sistem pengendalian persediaan periodik. Kedua sistem pengendalian persediaan akan menjawab 2 hal yang penting, yaitu berapa jumlah yang harus dipesan dan kapan harus memesan. Kedua hal itu ditentukan dengan kriteria total biaya persediaan yang minimum. Biaya persediaan terdiri dari biaya pengadaan (pembelian), biaya pemesanan dan biaya penyimpanan.

Kegiatan Belajar 2 :

Model Persediaan Kuantitas Pesanan Ekonomi (Sistem Persediaan Kontinu/Sistem Q)

Metode persediaan kontinu merupakan sistem persediaan dengan kuantitas pemesanan (Q) yang tetap, namun periode pemesanan yang berubah-ubah. Metode yang digunakan untuk sistem ini salah satunya adalah metode Economic Order Quantity (EOQ). 2 hal yang dihasilkan oleh model ini, yaitu berapa jumlah yang harus dipesan dan kapan waktu pemesanan.
Pada kondisi aktual ke empat asumsi dari model dasar EOQ tersebut dianalisis satu per satu sehingga didapatkan variasi dari model EOQ dasar tersebut. Reorder point (titik pemesan kembali) membuka asumsi tidak adanya waktu tunggu. Model Permintaan tak seketika membuka asumsi penerimaan pemesanan terjadi seketika. Model EOQ dengan kekurangan membuka asumsi kekurangan tidak diperkenankan. Pemakaian metode tersebut disesuaikan dengan kondisi yang terjadi pada sistem bisnis yang dikaji.

Kegiatan Belajar 3 :

Titik Pemesanan Ulang dan Stok Pengaman serta Sistem Persediaan Periodik (Sistem P)

Salah satu parameter persediaan yang penting adalah penentuan titik pemesanan kembali (Reorder Point). Parameter ini berfungsi untuk memberi jaminan bahwa barang tetap ada selama pesanan yang baru belum datang, karena adanya waktu tunggu untuk pemesanannya. Penentuan parameter ini mempunyai beberapa variasi, hal ini disebabkan ada 2 hal yang mempengaruhi perhitungannya, yaitu sifat dari permintaan (konstan atau variabel) dan waktu tunggu (konstan atau variabel). Pemakaian metode ini disesuaikan dengan kondisi aktualnya.
Sistem pengendalian persediaan periodik merupakan sistem persediaan dengan periode pemesanan tetap, namun jumlah kuantitas pemesanan berubah. Pada sistem ini yang dicari adalah kuantitas pemesanan. Kuantitas pemesanan ini juga dipengaruhi oleh waktu tunggu, pemakaian harian, dan persediaan yang ada selama masa tunggu.

 DAFTAR PUSTAKA
Ballou, Ronald H. (1999). Bussiness Logistic Management. Third edition. New Jersey: Prentice Hall.

Fogarty, Donald W. et.al. (1991). Production and Inventory Management. South-Western Publishing Co. Ohio.

Narasimhan, Seetharama L. et.al. (1995). Production Planning and Inventory Control. New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.

Sofjan Assauri. (1993). Manajemen Produksi. Jakarta: Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Taylor III, Bernard. (2001). Sains Manajemen. Jilid 2 (terjemahan). Jakarta: Salemba Empat.

Tersine, Richard J. (1994). Principles of Inventory and Materials Management. New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.


MODUL 7: TEORI ANTRIAN
Kegiatan Belajar 1 :

Konsep Antrian

Teori antrian didasarkan pada tiga faktor yang berpengaruh, yaitu fasilitas pelayanan, kedatangan input antrian dan aturan antrian. Sistem antrian yang ada sangat dipengaruhi oleh ketiga faktor utama tersebut. Dalam konteks riset operasi, optimasi sistem antrian tercapai pada titik keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya yang timbul akibat mengantri. Oleh karena itu, pengaturan fasilitas pelayanan (single channel vs multiple channel; single phase vs multiphase), input kedatangan (limited vs unlimited) serta aturan antrian (FIFO, LIFO, PS, SIRO) harus dilakukan dengan cermat.

Kegiatan Belajar 2 :

Model-Model Antrian

Antrian merupakan salah satu topik penting dalam riset operasional. Banyak sekali praksis manajemen operasi yang melibatkan proses antrian, seperti antrian produk dalam conveyor, antrian pasien di rumah sakit. Untuk memudahkan pemahaman sistem antrian dibuatlah beberapa pemodelan sistem antrian, antara lain Model A, antrian kanal tunggal (single channel); Model B, antrian kanal berganda (multi channel), Model C, antrian layanan populasi terbatas (limited population system). Model-model tersebut didasarkan pada asumsi-asumsi, antara lain kedatangan berdistribusi Poisson, FIFO, dan layanan satu tahap (single service phase).

DAFTAR PUSTAKA
Cooper, R.B. (1980). Introduction to Queuing Theory. 2nd ed. New York: Elsevier-North Holland.

Eppen, D.,G, et.al. (1988). Quantitative Concept for Management : Decision Making without Algorithms. 3rd eds. New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.

Hicks, P.E. (1977). Introduction to Industrial Engineering and Management Science. Tokyo: McGraw-Hills Kogakusha Ltd.

Thierauf, Robert, J., Klekamp., Robert, C. (1975). Decision Making through Operation Research. 2nd edition. New York: Wiley International.

MODUL 8: ANALISIS JARINGAN
Kegiatan Belajar 1 :

Pengembangan Jaringan

Jaringan meliputi serangkaian simpul dan cabang, di mana simpul digunakan untuk melambangkan adanya suatu kegiatan yang dilaksanakan, sedangkan cabang digunakan untuk menghubungkan antara kegiatan-kegiatan yang terdapat dalam jaringan. Konsep jaringan digunakan dalam menganalisis waktu pengerjaan suatu proyek yang melibatkan sejumlah kegiatan yang saling berkaitan.
Critical Path Method (CPM) atau metode jalur kritis dan Program Evaluation dan Review Technique (PERT) atau teknik evaluasi dan peninjauan program merupakan teknik yang banyak dipergunakan untuk melakukan analisis terhadap waktu penyelesaian proyek. Pada awalnya metode CPM dengan PERT dikembangkan secara terpisah namun pada waktu yang bersamaan. Perbedaan yang mendasar antara kedua metode ini, yaitu pada CPM perkiraan waktu berwujud suatu nilai tunggal atau berada pada titik tertentu, sedangkan pada metode PERT digunakan perkiraan waktu yang berwujud probabilitas atau suatu kemungkinan. Melalui metode ini akan dapat diketahui probabilitas atau kemungkinan terselesaikannya suatu proyek pada suatu waktu tertentu. Dalam perkembangan selanjutnya sampai dengan saat ini, PERT dan CPM sudah digabungkan menjadi satu dikenal dengan metode PERT/CPM.
Metode PERT/CPM dilakukan dengan menggambarkan jaringan kerja yang terdiri dari serangkaian kegiatan di mana kegiatan tersebut saling sambung-menyambung dan terdapat kegiatan yang paralel atau dilakukan pada saat yang bersamaan dengan kegiatan lainnya. Setiap kegiatan memiliki waktu penyelesaian tertentu, dan dilanjutkan kegiatan lainnya. Melalui penggambaran jaringan PERT/CPM kita dapat mengetahui berapa waktu secara keseluruhan penyelesaian pekerjaan.



Kegiatan Belajar 2 :

Mengidentifikasi Jalur Kritis

Setelah menggambarkan jaringan CPM maka perlu diketahui jalur kritis. Jalur kritis adalah jalur yang melalui sejumlah kegiatan di mana kegiatan-kegiatan tersebut tidak boleh mengalami penundaan waktu jika tidak maka waktu pengerjaan proyek juga akan tertunda.
Pengidentifikasian jalur kritis dilakukan dengan mengidentifikasi waktu tercepat dan terlama pada masing-masing kegiatan. Waktu tercepat adalah waktu yang paling cepat untuk dapat memulai dan mengakhiri suatu kegiatan, sedangkan waktu terlama adalah waktu paling lambat untuk memulai dan mengakhiri suatu kegiatan. Waktu tercepat menunjukkan bahwa kegiatan tersebut belum bisa dimulai sebelum waktu tercepat tersebut dan tidak akan dapat diakhiri sebelum waktu berakhirnya kegiatan tercepat tersebut. Waktu terlama menunjukkan waktu paling lambat untuk memulai suatu kegiatan dan jika melewati waktu terlama tersebut maka waktu penyelesaian proyek secara keseluruhan juga akan tertunda dari rencana semula.
Selain menggunakan nilai tunggal atau titik perkiraan waktu penyelesaian suatu proyek, metode lainnya, yaitu metode PERT, menggunakan nilai probabilistik. Nilai probabilistik yaitu nilai yang tidak terpaku pada suatu titik tertentu melainkan berbentuk variabel kontinu, di mana jika diwakili oleh suatu titik maka kita akan dapat memperkirakan berapa probabilitas terjadinya titik tersebut. Misalkan, rata-rata penyelesaian suatu proyek adalah selama 6 bulan maka probabilitas proyek tersebut selesai dalam waktu 6 bulan adalah 0,5 atau 50%. Probabilitas proyek tersebut selesai dalam waktu 7 bulan (misalkan) sebesar 0,75 atau 75%. Penghitungan waktu probabilistik menggunakan tiga kondisi perkiraan waktu, seperti optimistik, yaitu waktu yang diyakini paling cepat dapat terselesaikannya suatu kegiatan, waktu umum, yaitu waktu penyelesaian suatu kegiatan yang paling sering terjadi, dan waktu pesimistik, yaitu waktu penyelesaian suatu kegiatan yang paling lama yang mungkin dapat terjadi.

DAFTAR PUSTAKA
Anderson, David Ray, Dennis Sweeny, Thomas A. William. (1994). An Introduction to management Science: Quantitative Approaches to Decision Making. Minneapolis: West Publishing Company.

Heizer, Jay, Barry Render. (2001). Operation Management. International Edition. New Jersey: Prentice Hall.

Levin, Richard I., David S. Rubin. (1998). Statistics for Management. International Edition. New Jersey: Prenticel Hall.

Lind, Douglas A., William G. Marchal, Samuel A. Wathen. (2005). Statistical Techniques in Business & Economics. New York: McGraw-Hill Irwin.

Taylor, Bernard W. (2004). Introduction to Management Science. 8th edition. New Jersey: Pearson Education.


MODUL 9: TEORI PERMAINAN
Kegiatan Belajar 1 :

Teori Permainan sebagai Alat Bantu Pengambilan Keputusan

Teori Permainan didasarkan pada asumsi adanya lingkungan persaingan yang dinamis. Lingkungan persaingan yang dinamis memberi arti bahwa setiap pemain memiliki kesetaraan kemampuan dan keterampilan. Setiap pemain bertindak berdasarkan pertimbangan strateginya yang rasional. Teori permainan memiliki variasi-variasi antara lain permainan normal vs meluas, permainan berjumlah nol vs tidak berjumlah nol, permainan simultan vs permainan bertahap, dan permainan informasi lengkap vs tidak lengkap.

Kegiatan Belajar 2 :

Matriks Permainan

Teori permainan banyak dipakai dan dikembangkan untuk menganalisis situasi persaingan yang melibatkan berbagai kepentingan yang berlawanan. Setiap kompetitor menjalankan strateginya masing-masing untuk memperbesar ganjarannya. Strategi salah satu kompetitor berpengaruh terhadap strategi kompetitor yang lain, demikian juga sebaliknya. Keuntungan bagi salah seorang pemain berarti juga kerugian bagi kompetitornya. Strategi tiap pemain adalah memaksimumkan keuntungannya yang minimum atau meminimumkan kerugiannya yang maksimum.

DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. (2003). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE.

Miller, James. (2003). Game Theory: How to Use Game Theory to Outthink and Outmaneuver Your Competition. New York: McGraw-Hill.

Siagian, P. (1987). Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Jakarta: UIP.

Thierauf, Robert., J. Klekamp., Robert, C. (1975). Decision Making through Operation Research. 2nd Edition. New York: Wiley International.

Vajda, S. (1958). The Theory of Game and Linear Programming. London: Methuen & Co. Ltd.

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian­-antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu fenomena biasa yang terjadi apabila kebutuhan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan. Sebuah sistem pelayanan mencakup fasilitas pelayanan yang terdiri dari satu atau lebih pelayan, yang akan memberikan jenis-jenis pelayanan khusus kepada pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan tersebut.
Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas fasilitas pelayanan harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.
Struktur Dasar Model Antrian
Unit-unit yang memerlukan pelayanan yang diturunkan dari suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin pelayanan. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu mekanisme pelayanan tertentu. Setelah itu, unit-unit tesehut meninggalkan sistem antrian
Komponen Dalam Sistem Antrian
Lihat kembali struktur umum dari sistem antrian di muka. Sistem antrian memiliki beberapa komponen sebagai berikut :
1.   Populasi Masukan.
Berapa banyak pelanggan potensial yang dapat memasuki sistem Antrian ? Misalnya terdapat sepuluh mesin yang akan diperbaiki dengan satu orang tenaga mekanik. Ketika mesin mengalami kerusakan maka mesin akan antri untuk diperbaiki oleh mekanik. Rata-rata kedatangan mesin di tempat fasilitas perbaikan akan berbeda dengan rata-rata yang ada ketika sepuluh mesin bekerja. Apabila sebuah mesin diperbaiki dan mesin dianggap sebagai populasi pelanggan sedangkan perbaikan mesin dianggap sebagai fasilitas pelayanan, maka mesin tersebut akan kembali masuk sebagai populasi pelanggan potensial
2.   Distribusi kedatangan.
Menggambarkan bagaimana distribusi pelanggan memasuki sistem, disebut sebagai distribusi kedatangan. Para pelanggan mungkin datang setiap lima menit (constant arrival distribution), atau mungkin datang secara acak (arrival pattern random). Dengan demikian ada dua pola kedatangan yaitu jumlah kedatangan per unit waktu dan jumlah kedatangan dalam periode waktu berturut-turut.
3.   Disiplin pelayanan.
Menunjukkan pelanggan mana yang akan dilayani terlebih dahulu. First come-first served, last come-first served, atau acak.
4.   Fasilitas pelayanan.
Mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia. Satu saluran untuk memasuki satu sistem dengan satu fasilitas pelayanan (Single channel), atau satu antrian dengan dua atau lebih fasilitas pelayanan ( Multiple channel).
5.   Distribusi pelayanan.
Dapat ditetapkan dengan salah satu dari dua cara berikut. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu. Atau berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani.
6.   Kapasitas sistem layanan.
Sama dengan memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk dalam sistem.
7.   Karakteristik sistem lainnya.
Dalam praktek sistem antrian mungkin para pelanggan tidak akan memasuki antrian jika pelanggan lain telah banyak yang menunggu, dengan kata lain mungkin pelanggan itu akan meninggalkan antrian.
Struktur Model Antrian
Berdasarkan proses pelayanannva, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan fasa yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-heda. Ada empat struktur antrian dasar menurut Buffa dan Sarin yang menggambarkan kondisi umum di suatu fasilitas layanan.
1.  Single Channel Single Phase
Sistem ini adalah yang paling sederhana di mana hanya satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan dan hanya ada satu station pelayanan, sehingga setelah menerima pelayanan pelanggan (individu-individu) keluar dari sistem.
2.   Single Channel Multiphase
Sistem ini menujukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan.
3.   Multichannel Single Phase
Sistem ini terjadi kapan saja dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal.
4.   Multichannel -Multphase
Pada setiap sistem ini mernpunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
Sistem Antrian Dasar Pendatang Tetap dan Waktu Pelayanan
Dalam kasus di mana tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan bersifat tetap, maka ada tiga kemungkinan yang terjadi yaitu :
1.   Tak ada antrian, waktu menganggur. Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan lebih kecil daripada waktu antar kedatangan, sehingga sebelum terjadi kedatangan berikutnya fasilitas pelayanan telah selesai melayani unit sebelumnya, karena hal tesebut fasilitas pelayanan akan menganggur sampai kedatangan pelanggan berikutnya.
2.   Tak ada antrian, tak ada waktu menganggur. Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan sama dengan waktu antar kedatangan, sehingga ketika unit (pelanggan) berikutnya datang kepada fasilitas pelayanan pada waktu itu pula fasilitas pelayanan selesai melayani unit sebelumnya, sehingga dapat langsung dilayani.
3.   Ada antrian, tak ada waktu menganggur. Kondisi ini terjadi bila waktu pelayanan lebih besar daripada waktu antar kedatangan, sehingga ketika unit berikutnya datang fasilitas pelayanan belum selesai melayani unit sebelumnya, hal ini mengakibatkan unit yang datang berikutnya harus menunggu sampai fasititas pelayanan tersebut selesai melayani unit sebelumnya.
Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem (jumlah unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh keadaan (state) awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam kondisi transien. Tetapi lama kelamaan keadaan sistem akan independen terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya. Keadaan sistem seperti ini dikatakan berada dalam kondisi steady state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis.
Model-model antrian.
Dalam pengelompokan model-model antrian yang berbeda-beda akan digunakan suatu notasi yang disebut “ Kendal Notation ”. Notasi ini sering digunakan karena adanya beberapa alasan antara lain:
  1. Karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasikan tidak hanya model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi.
  2. Hampir semua literatur yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini.
Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi probabilitas poisson.
Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Lagi, M menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probabilitas poisson.
Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan (channels) dalam sistem. Model diatas adalah model model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal.
Tanda yang keempat dan kelima ditambahkan untuk menunjukkan apakah sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak terbatas (I) atau tak terbatas (F).
Dengan tanda-tanda tersebut ditunjukkan empat model yang berbeda yang akan dirumuskan dan dipecahkan dalam bagian ini, yaitu:
  1. Model 1 : M/M/I/I/I
  2. Model 2 : M/M/S/I/I
  3. Model 3 : M/M/I/I/F
  4. Model 4 : M/M/S/F/I
Tujuan Model Antrian
Tujuan dari model antrian adalah untuk meminimasi total biaya yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung karena para individu menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem antrian mempunyai fasilitas pelayanan lebih dari jumlah optimal, ini berarti membutuhkan investasi modal yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya lebih dari optimal, hasilnya adalah tertundanya pelayanan (Hani Handoko dkk, 1997)
Model biaya dalam antrian berusaha menyeimbangkan biaya menunggu dengan biaya kenaikan tingkat pelayanan yang saling bertentangan. Sementara tingkat pelayanan meningkat, biaya waktu menunggu menurun. Tingkat pelayanan optimum terjadi ketika jumlah kedua biaya ini optimum.
1. Pengertian Riset Operasi
Riset Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.
2. Pemodelan Matematis
Bagian terpenting dari Riset Operasi adalah bagaimana menerjemahkan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yang mempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yang kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang bersifat rasional. Dalam Riset Operasi diperlukan ketajaman berpikir dan logika. Untuk mendapatkan solusi yang optimal dan memudahkan kita mendapatkan hasil, kita dapat menggunakan komputer. Software yang dapat digunakan antara lain: LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optimizer) dan POM For Windows.
Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan
masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan
atas sumber daya tersebut
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
12
BAB III. METODE SIMPLEX
Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simplex.
Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:
1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).
2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai
tersebut harus dikalikan –1.
3. Fungsi kendala dengan tanda “” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabels la ck/ su rpl us. Variabels lac k /s ur plus disebut juga variabel dasar.
4. Fungsi kendala dengan tanda “” diubah ke bentuk “” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabels lac k. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M)
Pembuatan Tabel Simplex
Contoh soal:
Z = 3X1 + 5X2
Kendala:
1) 2X1
8
2)
3X2
15
3) 6X1 + 5X2 30
Langkah-langkah:
1.Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang
harus diperhatikan di atas!)
Fungsi tujuan
Z = 3X1 + 5X2
=> Z - 3X1 - 5X2 = 0
Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat- tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:
1.Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok
kanan bawah
Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang
efisien.
2.Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil
dulu. Lebih efisien dibanding metode NWC
Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:
1.Stepping Stone (batu loncatan)
2. Modified Distribution Method (MODI
Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana
penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).
Contoh masalah transportas
DAFTAR PUSTAKA
1. Hamdy Taha, Operation Research An Introduction, Edisi 4, Macmillan,
New York
2. Richard Bronson, Theory and Problem of Operation Research ,
McGraw-Hill, Singapore.
3. Subagyo Pangestu, Marwan Asri, dan T. Hani Handoko.Das ar -Dasa r
Operation Research, Yogyakarta: PT. BPFE-Yogyakarta, 2000.
4. Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005
5. Yulian Zamit, Manajemen Kuantitatif, BPFE, Yogyakarta
Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan
masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan
atas sumber daya tersebut.
1. Masalah Maksimisasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat d
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
5
BAB II. PROGRAM LINEAR
Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan
masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan
atas sumber daya tersebut.
1. Masalah Maksimisasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:
Jenis bahan baku Kg bahan baku & Jam tenaga kerja
Maksimum
dan tenaga kerja
Kain sutera
Kain wol
penyediaan
Benang sutera
2
3
60 kg
Benang wol
-
2
30 kg
Tenaga kerja
2
1
40 jam
Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.
BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
6
L
Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
1. 2X1 + 3X2 60 (benang sutera)
2.
2X2 30 (benang wol)
3. 2X1 + X2 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X2=60
X1=0, X2 =60/3 =20
X2=0, X1= 60/2 =30
2. 2X2 30
X2=15
3. 2X1 + X2 40
X1=0, X2 =40
X2=0, X1= 40/2 =
PEMROGRAMAN LINIER
(Sumber :  Siringoringo, 2005)

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode  matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

Karakteristik  Pemrograman Linier

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian  fungsi tujuan dan pembatas.

Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.

Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain  dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

Pembentukan model matematik

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model  matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :

Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0

Simbol x1, x2, ..., xn  (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan.  Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir  (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus  dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.

Contoh Kasus yang diselesaikan

Pada sub bab ini terdapat 10 kasus dengan karakteristik berbeda yang sudah diselesaikan untuk memperkaya pembaca dalam ilmu dan seni permodelan. Pahami dan perhatikan teknik permodelannya dengan hati-hati.

  1. Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.

Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematiknya !

Solusi :

Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi  adalah waktu kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus diproduksi (pangsa pasar ).

Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total  pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya yang membatasi , dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan  demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber daya ( waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan meru[pakan maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan ≤ atau ≥ tergantung dari pendefinisianvariabelnya.
Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi
x2 = jumlah kursi yang akan diproduksi

Model umum Pemrograman Linier kasus di atas adalah :

Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 1.2 x1 + 0.5 x2

Kendala :
2x1 + 0.5 x2 ≤ 32
x1/x2 ≥ ¼ atau 4x1≥ x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0


  1. Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut :


Bahan
Kg per kg bahan
Kalsium
Protein
Serat
Biaya (Rp/kg)
Jagung
0.001
0.09
0.02
2000
Bungkil kedelai
0.002
0.60
0.06
5500


Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematiknya !

Solusi :

Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan , alternative keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan pakan. Alternative keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada  jagung dan bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari.

Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa total biaya yang harus dikeluarkan peternak proporsional  terhadap jumlah jagung dan  bungkil kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil. Dengan  demikian dapat dinyatakan  sifat proporsionalitas  dipenuhi. Total pengeluaran pembelian bahan pakan  merupakan penjumlahan  pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai. Jumlah  masing-masing serat, protein dan kalsium yang ada di pakan  khusus merupakan penjumlah serat, protein dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan.  Dengan demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan minimisasi, karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala pertama (batasan jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan (=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan serat) menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan protein) menggunakan pertidaksamaan ≥.
Kita definisikan :
x1 = jumlah jagung yang akan digunakan
x2 = jumlah bungkil kedelai yang akan digunakan

Model umum Pemrograman linier kasus di atas oleh karenanya adalah :

Fungsi tujuan : minimumkan z = 2000 x1 + 5500 x2
Kendala :
x1 + x2 = 90
0.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2 ≥ 0



3.    Suatu bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku bunga per tahun 14% untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet.
            Formulasikan masalah di atas kedalam   bentuk model matematiknya !

Solusi :
 Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan pengembalian pinjaman. Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi pinjaman pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil.

Sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan pinjaman pembelian mobil, dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi , karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh manajemen bank.
Kita definisikan :
x1 = jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi
x2 = jumlah anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.

Model umum Pemrograman Linier kasus diatas adalah :

Fungsi tujuan : Maksimumkan z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2
Kendala :
x1 + x2 ≤ 180
x2 ≥ 2x1 atau -2x1 + x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0

4.    Suatu pabrik perakitan radio menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2 pada fasilitas perakitan yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut :

Stasiun kerja
Waktu perakitan per unit (menit)
HiFi-1
HiFi-2
1
6
4
2
5
5
3
4
6

      Waktu kerja masing-masing stasiun kerja adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun kerja membutuhkan perawatan harian selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.
      Formulasikan permasalahan ini kedalam model matematiknya !

Solusi :
Alternatif keputusan adalah : radio tipe HiFi-1 (x1) dan radio tipe HiFi-2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan jumlah radio HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi.
Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing stasiun kerja dikurangi dengan waktu yang dibutuhkan untuk perawatan.
Waktu produktif masing-masing stasiun kerja oleh karenanya adalah :
Stasiun 1 : 480 menit – 48 menit = 432 menit
Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit
Stasiun 3 : 480  menit – 57.6 menit = 422.4 menit.

Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = x1 + x2
Kendala :
6x1 + 4x2 ≤ 432
5x1 + 5x2 ≤ 412.8
4x1 + 6x2 ≤ 422.4
x1, x2 ≥ 0

5.      Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu produksi dan keuntungan per unit masing-masing  produk ditunjukkan table di bawah ini :

Produk
Waktu produksi (menit)
Mesin 1
Mesin 2
Mesin 3
Mesin 4
1
10
6
8
2
2
5
20
15
3

            Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !

Solusi :
Alternatif keputusan adalah : produk 1 (x1) dan produk 2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing mesin.

Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2 ≤ 600
6 x1 + 20 x2 ≤ 600
8 x1 + 15 x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0


6.      Empat produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu pemrosesan dalam jam per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan table di bawah ini :

Mesin
Waktu per unit (jam)
Produk 1
Produk 2
Produk 3
Produk 4
1
2
3
4
2
2
3
2
1
2

Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara langsung pada jam mesin. Asumsikan biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara berturut-turut  adalah $10 dan $5. Waktu yang disediakan untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah 380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah $65, $70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !

Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk 1,2,3 dan 4 yang dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan. Perhatikan, keuntungan diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 – (10x2  + 3x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 – (10x3 + 2x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 – (10x4 + 1x5) = 10
Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 – (10x2 + 2x5) = 15

Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang disediakan kedua mesin.

Definisikan :
x1 : jumlah produk 1 yang dihasilkan
x2 : jumlah produk 2 yang dihasilkan
x3 : jumlah produk 3 yang dihasilkan
x4 : jumlah produk 4 yang dihasilkan

Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 30 x1 + 30x2 + 10 x3 + 15 x4
Kendala :
2x1 + 3 x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 500
3x1 + 2 x2 + x3 + 2x4 ≤ 380
x1, x2,  x3 , x4   ≥ 0


  1. Suatu perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu  atau ke semua produk yang dihasilkan (produk 1,2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan membatasi output diringkaskan pada table berikut :

Tipe mesin
Waktu yang dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam)
Waktu yang tersedia (jam per minggu)
Produk 1
Produk 2
Produk 3
Mesin milling
9
3
5
500
Lathe
5
4
0
350
Grinder
3
0
2
150

Bagian penjualan mengindikasikan bahwa penjualan potensial untuk produk 1 dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan potensial untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk secara berturut-turut adalah $50, $20 dan $25.
Formulasikan permasalahan diatas kedalam model matematik !

Solusi :
Alternatif keputusan :
Jumlah produk 1 yang dihasilkan = x1
Jumlah produk 2 yang dihasilkan = x2
Jumlah produk 3 yang dihasilkan = x3

Tujuannya adalah : memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah :
Jam kerja mesin milling per minggu : 500 jam
Jam kerja mesin llathe per minggu : 350 jam
Jam kerja mesin grinder per minggu : 150 jam.

Model matematikanya adalah :
Maksimumkan z = 50 x1 + 20 x2 + 25 x3
Kendala :
9x1 + 3 x2 + 5x3 ≤ 500
5x1 + 4 x2 ≤ 350
3x1 + 2x3 ≤ 150
x3 ≤ 20
x1, x2,  x3 g  ≥ 0



------------****------------

Sumber :

Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.



Tidak ada komentar:

Poskan Komentar